Od numeru X rozpoczynam cykl wykładów poświęconych syntezie i przetwarzaniu dźwieku. Kilka pierwszych służy przypomnieniu podstawowych pojęć z fizyki (akustyki) potrzebnych w dalszych wykładach.
Rezonator Helmholtza.
SYNTEZA FM - ciąg dalszy.
Najprostszy układ FM – modulacji częstotliwości (ang. Frequency Modulation) składa się z dwu generatorów (z reguły sinusoidalnych) połączonych tak, jak na poniższym rysunku. Napięcie wyjściowe jednego z nich (zwanego modulatorem, ang. modulator) zmienia częstotliwość pracy drugiego (zwanego generatorem fali nośnej, ang. carrier). W układzie takim częstotliwość generatora fali nośnej zależna jest od napięcia na wyjściu generatora modulującego (zwanego także po prostu modulatorem).
WIDMO DŹWIĘKÓW FM.
Jedną z podstawowych zalet techniki FM jest możliwość wytwarzania dźwięków o dosyć złożonym widmie przy użyciu małej liczby generatorów sinusoidalnych. Warto więc wiedzieć, jakie widma powstają w tym procesie. Rozpatrzmy jeszcze raz najprostszy układ z poprzedniego rysunku. Widmo dźwięku wytwarzanego przez taki układ przedstawia rysunek poniżej.
W skład tego widma wchodzą: częstotliwość generatora fali nośnej (fc, zaznaczona grubszą linią) oraz symetrycznie względem niej rozłożone częstotliwości zwane wstęgami bocznymi (ang. sidebands). Częstotliwości te oblicza się według wzoru:
Ilość par prążków we wstęgach bocznych jest o jeden większa niż indeks modulacji. Jeśli więc w powyższym przykładzie indeks modulacji będzie równy 2, to prócz częstotliwości nośnej (880Hz) w widmie pojawią się składowe o częstotliwościach: 480Hz, 680Hz, 1080Hz oraz 1280Hz.
Powyższe reguły pozwalają jednakże tylko na obliczenie częstotliwości zawartych we wstęgach bocznych. Nie mówią one nic o amplitudach prążków, ani nawet o tym, czy poszczególne składowe występują, czy też nie (czyli mają amplitudę = 0). Przy okazji warto może zauważyć, że składowe częstotliwości widma mogą mieć amplitudę większą od fali nośnej.
Obliczanie amplitud poszczególnych składowych jest, niestety, nieco bardziej złożone. Amplitudy poszczególnych prążków widma określone są tzw. funkcjami Bessela pierwszego rodzaju, n–tego rzędu, przedstawionymi na rysunku poniżej.
Na podstawie: Eduardo Reck Miranda – “Computer Sound Synhesis for the Electronic Musician” – Focal Press, ISBN 0–240–51517–X.
Określają one czynnik skalujący (a nie wartość bezwzględną!) dla kolejnych par prążków we wstęgach bocznych w zależności od indeksu modulacji. Funkcja rzędu zerowego J0(i) – określa czynnik skalujący dla częstotliwości nośnej, funkcja rzędu pierwszego J1(i) – czynnik skalujący dla pierwszej pary składowych, funkcja rzędu drugiego J2(i) – czynnik skalujący dla drugiej pary składowych etc. Obliczanie funkcji Bessela jest w praktyce dosyć uciążliwe, więc korzysta się przeważnie, albo z odpowiednich programów, albo z dostępnych w handlu tablic tych funkcji.
UJEMNE AMPLITUDY, CZĘSTOTLIWOŚCI I ZNIEKSZTAŁCENIE NYQUISTA.
(dla wnikliwych Czytelników)
Wnikliwy Czytelnik zauważył już na pewno, że podana powyżej metoda obliczania częstotliwości wstęg bocznych może dawać w rezultacie częstotliwości ujemne, które nie mają sensownej interpretacji fizycznej. Jeżeli w powyższym przykładzie obliczalibyśmy dalsze składowe widma w dół, to otrzymalibyśmy 80Hz, –120Hz, –320Hz etc. W rzeczywistości jednak częstotliwości ujemne „zawijają się” wokół osi pionowej w punkcie 0Hz i dodają algebraicznie do występujących w widmie częstotliwości dodatnich (jeśli po tej operacji na nie trafią). Można sobie to bardzo łatwo uzmysłowić wyobrażając sobie rysunek widma wykonany na przezroczystej folii. Folię składamy wzdłuż osi pionowej (na częstotliwości 0Hz) i otrzymujemy rzeczywiste widmo dźwięku. Jeśli częstotliwości ujemne trafią na dodatnie – trzeba je oczywiście najpierw algebraicznie dodać. Można jednak wykorzystać to, zasadniczo niekorzystne, zjawisko i „z wady uczynić zaletę”, bowiem takie „zawinięte” częstotliwości powodują, że widmo staje się asymetryczne i mniej regularne, a tym samym bardziej zbliżone do widma dźwięków naturalnych.
Rozszerzanie widma w górę także ma swój kres – jest nim (w układach cyfrowych) częstotliwość Nyquista. Jeżeli jakaś częstotliwość w widmie będzie większa od niej, to zostanie także „zawinięta” wokół osi 0Hz i będzie słyszalna jako artefakt o niskiej częstotliwości, zwany z angielska aliasingiem. Łatwo to sobie znowu wyobrazić przy pomocy rysunku na przezroczystej folii. Tym razem należy wykonać pionowe cięcie w punkcie odpowiadającym częstotliwości Nyquista i odcięty fragment przenieść równolegle (w lewo) do osi pionowej (punktu 0Hz). Niebezpieczeństwo zniekształcenia Nyquista pojawia się głównie przy wysokich częstotliwościach fali nośnej i modulatora, oraz przy wysokim indeksie modulacji. Jeżeli nie zależy nam właśnie na czymś takim – zjawisko to przeważnie jest dokuczliwe w sensie muzycznym.
Skrupulatny Czytelnik zwrócił też pewnie uwagę na zwrot „dodają się algebraicznie” sugerujący, że mogą występować także jakieś wartości ujemne. Rzeczywiście tak jest; w widmie mogą się pojawiać składowe o ujemnych amplitudach, na rysunku przedstawione jako słupki poniżej osi poziomej. Wynika to wprost z tego, że czynnik skalujący, określony funkcją Bessela, może przyjmować także wartości ujemne; w istocie są to częstotliwości przesunięte w fazie. Ponieważ słuch nie reaguje praktycznie na fazę sygnału możemy je więc traktować tak, jak zwykłe składowe dodatnie. Jeśli jednak w sygnale znajdują się też takie same częstotliwości o dodatnich amplitudach, wówczas dodadzą się one lub odejmą w zależności od faz.
cdn.
[mc]