Ponieważ cały numer z założenia ma być poświecony temu, co znalazłem w sieci, – w tym numerze przerywam cykl wykładów o syntezie dźwięku. Mógłbym, oczywiście, zamieścić po prostu jakiś wykład znaleziony w Internecie, choć prościej byłoby właściwie odesłać pod właściwy adres. Takie odsyłacze znajdują się zresztą w dziale „Miejsca sieciowe”. Zamiast tego postanowiłem, na bazie tego, co znalazłem w Wikipedii zastanowić się nieco nad „stylem” wykładu w ogólności.
Permutacja – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru skończonego na siebie.
Definicja intuicyjna: Permutacja – uporządkowanie elementów zbioru, inaczej ustawienie ich w pewnej kolejności.
Dalej następują stosowne wyjaśnienia i odsyłacze.
Co mnie tu zaintrygowało, to umieszczenie „Definicji intuicyjnej” (z zasady niezbyt ścisłej) w treści hasła objaśniającego matematyczny termin. Można się zastanowić w jakim celu autor uczynił coś takiego. Prawdopodobnie, aby dać Czytelnikowi możliwość szybkiego (za cenę dokładności) uchwycenia sensu tego pojęcia. Osobiście takie podejście wydaje mi się bardzo rozsądne. Spróbuję to poniżej jakoś lepiej uzasadnić.
Zacznę od przykładu. Weźmy możliwie proste twierdzenie matematyczne, choćby takie:
Każda liczba naturalna podzielna przez 10, jest także podzielna przez 5.
Przedstawię teraz cztery „dowody” tego twierdzenia:
• Dowód 1:
• Dowód 2:
Jeśli liczba n jest podzielna przez 10 – oznacza to można ją otrzymać przez zsumowanie pewnej liczby "dziesiątek". Ponieważ zaś każda "dziesiątka" składa się z dwu "piątek", zatem rozpatrywana liczba n jest także sumą (dwukrotnie większej liczby) "piątek". Będąc zaś sumą takich "piątek" – jest podzielna przez pięć.
• Dowód 3:
Niech n oraz k będą liczbami naturalnymi. Liczba n jest podzielna przez 10, jeśli spełniony jest warunek, że istnieje liczba k, taka, że k × 10 = n ; [1]. Warunek podzielności przez pięć wymaga, aby było k × 5 = n ; [2]. Ponieważ 10 = 2 × 5; – wyrażenie [1] możemy też zapisać jako k × 2 × 5 = 2k × 5 = n. Jeśli k jest liczbą naturalną, to 2k jest nią również, ponieważ iloczyn liczb naturalnych jest także liczbą naturalną. Zatem spełnienie warunku [1] pociąga za sobą automatycznie spełnienie warunku [2].
• Dowód 4:
Oznaczenia (trochę nietypowe, aby nie było kłopotów z "dziwnymi znaczkami"):
N – zbiór wszystkich liczb naturalnych,
U – suma logiczna,
:= – przypisanie;
E – należy do,
=> – wynika (pociąga za sobą).
QED.
Jeśli się ktoś uprze, może ten ostatni dowód jeszcze bardziej "odczłowieczyć", "umaszynowić" i pewnie jeszcze ściślej zapisać. Nie w tym jednak rzecz.
Rzecz w tym, że "logiczny kościec" wszystkich tych czterech „dowodów” jest taki sam. Różnią się one jedynie sposobem przedstawienia. Ostatni z nich jest niewątpliwie najbardziej precyzyjny. Pierwszy zaś właściwie nie jest dowodem, lecz poglądowym rysunkiem; drugi natomiast (choć ma trochę formę bajeczki) – najbardziej przemawia do wyobraźni, a co za tym idzie – chyba najszybciej i najłatwiej pozwala zrozumieć istotę tego twierdzenia (kosztem ścisłości, oczywiście).
I teraz rzecz najważniejsza:
Wielu ludzi (D. Hilbert dla przykładu) uważa(ło), że istotą matematyki jest bogata wyobraźnia specyficznego typu, zaś logika jest tylko narzędziem służącym do sprawdzania i dowodzenia. Wynikałoby z tego, że ucząc kogoś (w tym i samego siebie) matematyki należałoby dbać głównie o rozwój wyobraźni ucznia, wyposażając go przy tym w odpowiednie (niezbędne!) narzędzia weryfikacji
. Z drugiej zaś strony są ludzie, którzy dąsają się na wyjaśnienia typu 1..3, uważając je (i pewnie słusznie) za nie dość ścisłe.
Sam zaobserwowałem też, że z pewnych książek łatwiej mi przyswoić ten sam materiał – z innych trudniej. Dla przykładu – mam w domu klasyczny trzytomowy "Zarys matematyki wyższej dla inżynierów" R. Leitnera i to w dwóch wydaniach – nowym (1995) i starym (1967). Nowe wydanie (poprawione i rozszerzone) jest bliższe stylowi dowodu nr. 4, zaś starsze – raczej – 3. I rzecz ciekawa – częściej sięgam do starszego i jakoś przeważnie łatwiej mi przyswoić to, czego potrzebuję. Tłumaczę to sobie tak, że człowiek przeważnie jednak nie myśli o matematyce takimi logicznymi symbolami, tylko jakimiś "swoimi", indywidualnymi wyobrażeniami (pisał o tym zresztą dość sporo i ciekawie R. Feynmann). Stąd też wydaje mi się, że ucząc się matematyki (a chyba także innych rzeczy) należy przeplatać różne sposoby wykładu. Te bardziej swobodne rozwijają chyba bardziej wyobraźnię – te ściślejsze chronią przed błędami i mętniactwem.
Byłem w życiu na wielu wykładach. Z różnych dziedzin i na różnym poziomie. Czytałem także wiele różnych wykładów (lub wyjaśnień, jeśli kto woli). Wszystkich autorów mógłbym podzielić (tak na własny użytek i z grubsza) na cztery kategorie:
Odrzuciwszy czwartą grupę, która mnie tu nie interesuje – z pozostałych trzech najbardziej podobają mi się wykładowcy z grupy pierwszej. Trzecia chyba też nie wymaga osobnego omówienia, zwłaszcza, że przeważnie łączy się z którąś z innych. Chciałbym natomiast przedstawić swoje racje uprzywilejowania pierwszej grupy przed drugą.
Jako pierwszy powód podałbym fakt, że wraz z postępem wiedzy przychodzi nam wstępować w coraz to bardziej abstrakcyjne i, co gorsza, sprzeczne z intuicją obszary. Mówiąc po prostu – będzie coraz trudniej. A ponieważ uczenie, zwłaszcza w naukach ścisłych, nie bardzo daje się zaczynać od środka – każdy, kto zechce w te „wyższe” regiony zawędrować, zmuszony będzie przejść całą tę ścieżkę zdobywania wiedzy od początku. Jak by nie było – najwięksi nawet matematycy rozpoczynali swoją edukację od najprostszej arytmetyki, a właściwie wręcz od nauki liczenia. Dlatego też warto te pierwsze etapy przejść jak najszybciej – i tu właśnie pomaga skuteczność.
Drugim powodem jest spostrzeżenie, że skuteczność wykładu jest przeważnie skorelowana z postępem wiedzy. Więcej nawet – można to zaobserwować (by tak rzec) na kilku frontach. Porównanie bardzo starych podręczników z nowszymi ujawnia przeważnie, że ludzie z biegiem czasu nie tylko zaczynają rozumieć pewien problem, ale też uczą się go możliwie jasno przedstawiać. Podobnie też wykładowcy bardziej kompetentni, na ogół (choć, niestety nie zawsze) potrafią zagadnienia ze swej dziedziny wyłożyć jakoś przejrzyściej. I w końcu sam mogę potwierdzić fakt, że w miarę uczenia się, zdobyta wiedza jakoś „układała” mi się w głowie, a to pozwalało mi przeważnie przekazywać ją innym w sposób bardziej spójny i zrozumiały. Jestem, rzecz jasna świadom tego, że działają tu różne czynniki i o takiej całkiem prostej zależności trudno mówić. Już choćby zróżnicowane „talenty wykładowcze” u ludzi o podobnym zakresie kompetencji mogą tu posłużyć za przykład.
Warto też zauważyć, że obydwie te metody (to znaczy skuteczności i precyzji) niekoniecznie kłócą się ze sobą. Można je w wykładzie przeplatać, zaczynając na przykład od poglądowego ujęcia, a następnie podbudowując je ściślejszym, czy bardziej szczegółowym (by tak rzec) „drugim przejściem”. Sam użyłem takiego rozwiązania omawiając w dziale „Wykład” transformację Fouriera. Pierwsza cześć nazywała się tam dość symptomatycznie: „Analiza harmoniczna – najprościej, jak potrafię”. Potrzebne jest tu także i pewne ostrzeżenie. Otóż uproszczone „popularyzatorskie” (by tak rzec) ujęcia niektórych tematów mogą być także w pewnym sensie niebezpieczne. Mogą bowiem wytworzyć jakiś uproszczony i fałszywy obraz rzeczy, którego później trudno jest się pozbyć – warto więc i to mieć na uwadze.
Ogólnie – tym, co wydaje mi się najważniejsze – jest maksymalna przejrzystość.
Zrobić tu muszę jednak parę zastrzeżeń:
Zakładam, że pod słowem „przejrzystość” wszyscy rozumiemy mniej więcej to samo. Zdaję sobie jednak równocześnie sprawę, że „przejrzystość” zależy nie tylko od sposobu wykładu, lecz także od sprawności umysłowej i stanu wiedzy odbiorcy. To banalne, ale co dla jednych jasne – dla innych niekoniecznie. Nie tylko zresztą sama sprawność umysłowa jest tu ważna, ale także i odpowiedni „bazowy” poziom wiedzy.
Świadom jestem również i tego, że sam temat w jakimś stopniu determinuje możliwości wykładowcy. Permutacje, od których zacząłem, dość dobrze nadają się do przystępnego wyłożenia. Można je wręcz „pokazać” na przykładzie przedmiotów, czy znaków. Jak jednak „pokazać” sinus liczby zespolonej, czy wnętrze atomu? Ba! Jak pokazać liczbę naturalną? Przecież to nie jest odpowiednio uformowany pył kredowy na tablicy! Oczywiście i tu można się uciec do jakiejś poglądowej (z reguły uproszczonej) wizualizacji – i wykładowcy często właśnie tak robią. Sam zresztą fakt, że istnieje na przykład duża ilość rysunków, przezroczy, lub filmów ilustrujących zjawiska mikroświata (z natury przecież niemożliwe do zobaczenia!), świadczy jednoznacznie o tym, że taka potrzeba (i to chyba dość silna, sądząc po ilości) istnieje.
Wart odnotowania jest także fakt zróżnicowanych umiejętności (czy wręcz talentów) wykładowczych. Są w samej rzeczy ludzie potrafiący o przekazywać wiedzę w sposób niezwykle sugestywny, trafiający do wyobraźni, czasem wręcz fascynujący, a mimo to nie posuwają się do spłycenia i zbanalizowania samych zagadnień; innym idzie to przeciętnie lub nawet źle. Co to oznacza praktycznie? Po pierwsze – tyle chyba, że sam język wykładu musi być „przezroczysty”, w tym, mniej więcej, sensie. W jakim opisałem to w eseju „Język nazbyt giętki” (AdRem! N° II). Tutaj mogę dla ilustracji przytoczyć pewne wydarzenie z własnego życia. Jakieś trzy lata po mojej emigracji postanowiłem opanować język programowania „Turbo Pascal”. W tym celu kupiłem sobie książkę (autora przez litość nie wymienię) – podręcznik tego właśnie języka. Po powrocie z urlopu zabrałem się z zapałem do lektury, ale prawie natychmiast od niej „odpadłem” – właściwie nic nie mogąc zrozumieć. Początkowo myślałem, że to po prostu „za mądre dla mnie”, ale wkrótce zorientowałem się, że jest to po prostu nieprawidłowo napisane. Zacząłem więc pod różne „fachowe” terminy podstawiać sobie litery i wyszło na jaw, że po prostu autor nielogicznie, a przynajmniej niezrozumiale, buduje zdania. W niejakiej desperacji kupiłem sobie niemiecki podręcznik f–my „Markt & Technik” – i stał się cud! Czytając w obcym (wtedy jeszcze dużo bardziej obcym niż obecnie) języku – zacząłem nagle rozumieć, o co chodzi. Proste, niebyt długie, logicznie skonstruowane zdania, całkowity brak zbędnych „ozdobników”, proste, maksymalnie oszczędne przykłady, żadnych oznaczeń wziętych „z sufitu” – po prostu – mur budowany cegła po cegle. Oto recepta na przejrzystość. Oto recepta na skuteczność.
Wracając do podanego na początku przykładu powiedziałbym tyle, że „najporządniejszy” matematycznie jest dowód ostatni i pewnie należałoby na nim zakończyć, lecz nie ma się co wstydzić rozpoczęcia od któregoś z wcześniejszych – nawet i pierwszego.
Nie mnie tu, rzecz jasna, pouczać innych, jak mają wykładać. Pisze to dlatego, że są to reguły, których sam zamierzam się trzymać (na ile mi się uda) i, które zamierzam propagować – co właśnie czynię.
Jeśli ktoś uważa inaczej – chętnie zapoznam się z każdą krytyką.
[mc]
Podziękowanie: Temat ten poruszyłem też na forum www.racjonalista.pl. Wszystkim uczestnikom tego forum, którzy zechcieli mi odpowiedzieć – z tego miejsca dziękuję.