Są zjawiska, dla których istnieją dwie (lub więcej) skale równie wygodne, zależnie od okoliczności. Weźmy wysokość w muzyce. Jeśli popatrzycie na klawiaturę fortepianu, zobaczycie liniową skalę, według której można zmierzyć wysokość. Całkiem naturalnie możemy powiedzieć: „To A leży dziewięć półtonów wyżej niż tamto C, a C jest siedem półtonów wyżej niż F, stąd też A jest 16 półtonów wyżej niż F”. Jest to skala addytywna, lub inaczej linearna. Rozumiem przez to tyle, że jeśli przypiszecie kolejne liczby całkowite kolejnym dźwiękom, wówczas odległość między danym dźwiękiem, a każdym innym może być określona jako różnica ich numerów. Potrzebujemy tylko dodawania i odejmowania.

Zupełnie inaczej jeśli zaczniecie myśleć o tych rzeczach raczej akustycznie niż słuchowo, raczej fizycznie niż percepcyjnie. Wówczas każdy dźwięk można lepiej opisać określając jego częstotliwość niż pozycję na klawiaturze. Niskie A na samym dole klawiatury drga około 27 razy na sekundę, zaś o trzy półtony wyższe C drga z 32 razy na sekundę. Tak więc możnaby pomyśleć, że aby skoczyć trzy półtony do góry trzeba zawsze dodać pięć cykli na sekundę. Nie tak. Powinniście zamiast tego zawsze pomnożyć przez 32/27. Jeśli chcecie skoczyć o dwanaście półtonów, oznacza to cztery powtórzone skoki o trzy półtony.

Zatem, jeśli poszliście w górę o oktawę (dwanaście półtonów), wasza wysokość została pomnożona przez 32/27 cztery razy pod rząd, co daje 2. W rzeczywistości czwarta potęga 32/27 to nie jest dokładnie 2, a ponieważ oktawa reprezentuje stosunek częstotliwości dokładnie równy 2, 32/27 muszą być troszkę zaniżone. Ale to nie jest istotne. Istotnym jest fakt, że naturalną operacją przy porównywaniu częstotliwości jest mnożenie i dzielenie, podczas gdy naturalna operacją przy numerowaniu dźwięków jest dodawanie i odejmowanie. A to oznacza, że numery dźwięków są logarytmami ich częstotliwości. I tu mamy przypadek, kiedy myślimy w naturalny sposób przy pomocy logarytmów!

A oto inny sposób wyłożenia tegoż. Dwa sąsiadujące dźwięki w pobliżu górnego końca klawiatury fortepianowej różnią się częstotliwością o około 400 cykli na sekundę, podczas gdy sąsiadujące dźwięki w pobliżu dolnego końca różną się o mniej więcej dwa cykle na sekundę. Czy nie wygląda na to, że te interwały są bardzo różne? Jednak dla ludzkiego ucha ten niski i wysoki interwał brzmią dokładnie tak samo.

Z myśleniem logarytmicznym mamy do czynienia wtedy, kiedy zauważamy jedynie przyrost liniowy nawet wtedy, kiedy rzecz sama w sobie zmienia swój wymiar dwukrotnie. Dla przykładu, czy nigdy was nie zdziwił fakt, że wybranie marnych siedmiu cyfr pozwala się połączyć z każdym abonentem w aglomeracji nowojorskiej, którą zamieszkuje 10 milionów ludzi. Przypuśćmy, że ludność Nowego Jorku podwoiłaby się. Czy musielibyśmy wtedy dodać siedem dalszych cyfr do każdego numeru telefonicznego, tworząc numery czternastocyfrowe, aby osiągnąć telefonicznie każdą z tych dwudziestu milionów osób? Oczywiście nie. Dodanie siedmiu cyfr pomnożyłoby liczbę możliwości dziesięć milionów razy. W rzeczywistości zaś dodanie jedynie trzech cyfr (kod kierunkowy przed numerem) pozwoliłoby na osiągniecie każdego abonenta w Ameryce Północnej. A jest tak po prostu dlatego, że każda nowa cyfra powoduje dziesięciokrotny wzrost ilości osiągalnych numerów. Trzy cyfry więcej mnożą zawsze sieć telefoniczną tysiąckrotnie; o trzy rzędy wielkości. Tak więc długość numeru telefonicznego – ta wielkość bezpośrednio odbierana przez was, kiedy dokucza wam długie wybieranie numerów kierunkowych – jest logarytmiczna miarą wielkości sieci, do której jesteście obecnie podłączeni. I właśnie dlatego jest niedorzecznym występowanie olbrzymich, długich 25 lub 30 cyfrowych numerów jako kodów dla ludzi lub produktów, podczas gdy, bez żadnych wątpliwości, wystarczyłoby parę cyfr.

Kiedyś otrzymałem rachunek żądający przelewu opłaty na konto numer:
60802-620-1-1-721000-421-01062
w banku w Jugosławii. Jakiś czas był to mój osobisty rekord absurdalnych numerów w transakcjach handlowych, Ostatnio jednakże otrzymałem formularz rejestracji samochodu, w którym na dole znalazłem tę oto inspirującą stałą:
010101361218200301070014263117241512003603600030002.
Dodatkowo następowało po niej kilka spacji, a za nimi „19283”.

Innym przypadkiem, kiedy myślimy logarytmicznie są nazwy liczb. W Ameryce mamy nową nazwę co trzy zera (aż do pewnego punktu): od tysiąca do miliona, od miliona do miliarda. Każdy przeskok jest, w naszym odczuciu, „tej samej długości”. Miliard jest dokładnie tyleż większy od miliona, co milion od tysiąca. Albo też trylion ma się do miliarda dokładnie tak, jak miliard do miliona. Z drugiej strony, czy można to ciągnąć w nieskończoność? Dla przykładu, czy jest rozsądnie powiedzieć, że 10¹⁰³ do 10¹⁰⁰ ma się dokładnie tak jak tysiąc do miliona? Ja powiedziałbym raczej „Nie, te wielkie liczby są raczej podobne, podczas gdy milion i tysiąc są bardzo różne.” Trudność w tym, że następują tu przesunięcia w naszej percepcyjnej rzeczywistości.

Jakby nie było, nazwy liczb wyczerpują się nam gdzieś około tryliona. Niby są jakieś oficjalne nazwy dla większych liczb, ale tak mniej więcej znane, jak nazwy wymarłych dinozaurów: „kwadrylion”, „oktylion”, „vigintylion”, „brontozylion”, triceratylion” etc. Nie znamy ich, bo wymarły dinozylion lat temu. Nawet „bilion” stwarza międzykulturowe problemy, o czym pisałem powyżej. Możecie sobie wyobrazić, co byłoby, gdyby w Wielkiej Brytanii „sto” znaczyło 1000? Jest faktem, że gdy liczby stają się zbyt wielkie, wyobraźnia ludzka narowi się. Myślę, że to źle, iż trylion jest największą liczbą o znanej powszechnie nazwie. Co się bowiem dzieje, kiedy budżet obrony rozdyma się nawet bardziej? Możemy jakoś uchwycić te liczby? Oczywiście, jak dinozaury, możemy sobie pozwolić na to, aby nie zajmować się tym problemem.

(cdn.)

[mc]