Obiecałem coś lżejszego. A więc proszę. Światło. Składa się z fotonów. Ile fotonów wysyła w ciągu sekundy 100 – watowa żarówka? Około 10²⁰ – inny olbrzym. A czy większy niż liczba ziaren piasku na plaży? Jakiej plaży? Powiedzmy na odcinku długim na milę [1,609344km M.C.], szerokim na 100 stóp [30,48m–M.C.] i głębokim na 6 stóp [1,8288m–M.C.]). Jak to szacujecie? A teraz proszę policzyć. A gdyby tak spróbować liczbę kropel w Oceanie Atlantyckim? A potem spróbujcie liczbę ryb w oceanie. Czego jest więcej: ryb w oceanie, czy mrówek na powierzchni ziemi? Atomów w źdźble trawy, czy źdźbeł trawy na ziemi? Trawy, czy owadów? Liści na typowym dębie, czy włosów na głowie ludzkiej? Ile kropel deszczu spada na miasto podczas strasznej ulewy?

Ile kopii Mony Lizy było kiedykolwiek wydrukowanych? Spróbujmy to policzyć razem. Prawdopodobnie jest ona drukowana w pismach wychodzących Stanach Zjednoczonych pare tuzinów razy rocznie. Powiedzmy, że każde czasopismo drukuje się w 100 000 egzemplarzy. To daje parę milionów rocznie w amerykańskich czasopismach, ale są także książki i nne publikacje. Być może powinniśmy podwoić lub potroić te liczbe dla USA? Aby wziąć pod uwage i inne kraje pomnóżmy znowu przez cztery. I tak osiągnęliśmy około 100 milionów kopii rocznie. Załóżmy teraz, że jest to prawdziwe dla każdego roku naszego stulecia [pisane w maju 1989 – M.C.]. A to daje prawie miliard kopii Mony Lizy! Całkiem nieźle, nieprawdaż? Prawdopodobnie popełniliśmy parę błędów po drodze, ale gdy pominiemy czynnik dziesięć w tę czy tamtą stronę, mamy całkiem dobre pojęcie czym jest ta liczba. „Pominiemy czynnik dziesięć!” Niedawno napisałem, że czynnik trzy można pominąć, a tutaj puszczam w niepamięć dwukrotnie więcej – to jest cały rząd wielkości. Dobrze, powód jest prosty: teraz zajmujemy się już większymi liczbami (10¹⁰ w miejsce 10⁵) i to jest dopuszczalne. Tu uczy nas dobrej, praktycznej reguły. Każdy błąd lub czynnik trzy jest pomijalny dla każdego oszacowanego czynnika 100 000. To oznacza, że możemy się pomylić o czynnik dziesięć – jeden rząd wielkości – kiedy dochodzimy do mniej więcej miliarda, lub czynnik 100 (dwa rzędy wielkości) kiedy dochodzimy do kwadratu tegoż, czyli 10²⁰, około 2,5 raza przy „stałej Rubika”. To oznacza, że powinniśmy zapomnieć firmie Ideal, gdyby podała „Ponad miliard miliardów kombinacji”, bo wtedy pomyliliby się zaledwie o czynnik 40 = 1,5 rzędu wielkości, co mieści się naszych ustalonych granicach, kiedy zajmujemy się liczbami tej wielkości.

Dlaczego więc powinniśmy więc być zadowoleni, kiedy nasze oszacowanie różni się tylko o jeden procent od rzeczywistej liczby, czy też kiedy jest ono 100 razy za duże? Ano dlatego, że jeśli weźmiemy logarytm przy podstawie dziesięć [dziesiętny – M.C.] jakiejś liczby – ilość zer – to kiedy odpowieny 18 zamiast rzeczywistych 20, pomylilmy się tylko o dziesięć procent! A teraz, co uprawnia nas do takiego bezceremonialnego zlekceważenia wielkości jako takiej i skierowania uwagi na jej logarytm (jej rząd wielkości)? Cóż, kiedy liczby stają się tak olbrzymie, nie mamy wyboru. Nasza percepcja zaczyna zawodzić. Po prostu nie możemy uzmysłowić sobie takiej ilości. Ta liczba – ten ciąg cyfr – wymyka nam się: nasze percepcyjne możliwości przyjmują jedynie liczbę zer. Gdzie to się zaczyna psuć? Tam, gdzie nie możemy już więcej „zobaczyć w myślach” właściwego rzędu wielkości. Dla mnie ten „percepcyjny chaos” zaczyna się około 10⁴ – wielkość tego chaosu pni, który pamiętam z fotografii [AdRem! N°VIII – M.C.]. Ważne jest, zapamiętanie tego progu. To jedna z kluczowych idei tego artykułu.

Jest kilka sposobów uchwycenia liczby 10⁴, jak na przykład liczba puszek zupy, które mogłyby wypłenić 50 – stopowy [15,24m – M.C.] regał w supermarkecie. Liczby większej niż ta, po prostu nie potrafię sobie wyobrazić. Liczba płytek ułożonych w Tunelu Lincolna pomiędzy Manhattanem a New Jersey jest tak olbrzymia, że nie mogę sobie jej zobrazować. (Jest rzędu miliona, co możecie sobie policzyć, nawet jeśli nigdy tego nie widzieliście!). W każdym razie, gdzieś tam około 10⁴ lub 10⁵ moje możliwości wyobrażania zanikają, aby ustąpić rzeczywistości drugiego rzędu – liczbie cyfr (albo, do pewnego stopnia, nazwom liczb jak „milion”, „miliard”, „trylion”). Dlaczego dzieje się to przy tych wielkościach, a nie powiedzmy przy 10 milionach, lub przy tysiącu? Musi to mieć związek z ewolucją i rolą, jaką percepcja takich zbiorów odgrywała w zdolności przeżycia. To fascynujące pytanie filozoficzne, ale nie mam nadziei, że zdołam tu na nie odpowiedzieć. W każdym razie za dobrą praktyczna regułę można przyjąć, że: Twoje oszacowanie powinno nie odbiegać więcej niż dziesięć procent od rzeczywistej wartości – jecz można to stosować jedynie na poziomie postrzeganej rzeczywistości. Stąd też można wybaczyć, jeśli oszacowaliście, że kostka Rubika ma 10¹⁸ możliwych pozycji, jako że 18 jest całkiem niedaleko od 19,5, co jest ilością cyfr (Pamietajmy, że – z grubsza rzecz biorąc – stała Rubika wynosi 4,3x10¹⁹, czyli 43 000 000 000 000 000 000. Początkowy czynnik 4,3 liczy się za nieco więcej niż pół cyfry, ponieważ każdy czynnik 10 odpowida jednej cyfrze, przy czym czynnik 3,16 (pierwiastek kwadratowy z 10) odpowiada „połowie cyfry”.

Jeśli przypadkiem zetknęliście się z liczbami mającymi miliony, lub miliardy cyfr, liczby te jako takie (te kolosalne łańcuchy cyfr) nie dadzą się już wyobrazić i wasza wyobraźnia będzie zmuszona wykonać następny skok w kierunku abstrakcji – ku liczbom określającym ilość cyfr w liczbie, która określa ilość cyfr w liczbie określającej rozpatrywany obiektu. Nie ma potrzeby dodawać, że ta potrzegana rzeczywistość trzeciego rzędu jest skrajnie abstrakcyjna. Wiecej nawet – pojawia się bardzo rzadko, nawet w matematyce. Jednakże można sobie wyobrazić jeszcze dalszą drogę. Czwarty i piąty rząd abstrakcji obrodzi błyskawicznie, w naszej czysto abstrakcyjnej wyobraźni, rzędem dzieiątym, setnym i milionowym.

Wtedy, oczywiście stracimy ślad dokładnych liczb, którymi operujemy i zadowolimy się kiepskimi przybliżeniami (dokładnymi do tych dziesięciu procent, oczywiście). „O, ja powiedziałbym, że przy około dwu milionach poziomów abstrakcji, z którymi się tu stykamy, byłby to czynnik rzędu paruset tysięcy” brzmiałby pewnie typowy komentarz ludzi zajmujących się takimi niewyobrażalnie niewyobrażalnymi wielkościami. Pewnie już spostrzegliście dokąd to prowadzi: do wielokrotnych poziomów abstrakcji w mówieniu o wielokrotnych poziomach abstrakcji. Gdybyśmy kontynuowali naszą dyskusje choćby jedną zillionową* sekundy dłużej, znaleźlibyśmy się już w samym środku teorii funkcji rekursywnych i złożoności algorytmów, a to byłoby już zbyt abstrakcyjne. Porzućmy więc tutaj ów temat.

(cdn.)

*/zillion – to żartobliwe amerykańskie określenie niewyobrażalnie wielkiej liczby.

Z tłumaczeniem pomagali mi, jak zwykle, walczyć: Michał Wronko i Anthony Bramley. Dzięki.

[mc]