Tematem następnego numeru będzie: MUREM W GŁOWĘ.

Jako pomoc w uzmysłowieniu wielkich liczb „na chłopski rozum”, pozwolę sobie na małą orgietkę pytań i odpowiedzi. Gotowi? No, to zaczynamy! Ile jest liter w księgarni? Proszę nie liczyć – po prostu zgadnąć. Około miliarda, waszym zdaniem? To dziewięć zer (1 000 000 000). Jeśli tak, to całkiem niezłe oszacowanie. Jeśli nie, to czy za dużo, czy za mało? Patrząc wstecz, czy wasze oszacowanie wygląda wam na chybione? Jaki sygnał wysyła wam intuicja, że to właśnie miliard byłby stosowny bardziej niż, powiedzmy, milion lub trylion? No, dobrze – spróbujmy więc policzyć. Powiedzmy, że w typowej księgarni jest 10 000 książek. (Skąd to wziąłem? Po prostu oszacowałem patrząc w sufit, choć kiedy policzyłem, też wyglądało to rozsądnie; być może nieco zaniżyłem). A dalej, każda książka ma kilkaset stron wypełnionych tekstem. Ile słów na stronę – sto? Tysiąc? Gdzieś po środku, bez wątpienia. Powiedzmy – 500. A ile liter na słowo? No, średnio około pięciu. Tak więc mamy 10 000×200×500×5, co daje pięć miliardów. Niech będzie – któżby się tam troszczył o współczynnik „pięć” na takiej wysokości? Ja zaś powiedziałbym, że jeśli zmieściliście się w dziesięciu (powiedzmy od 500 milionów do 50 miliardów), to już zrobiliście to całkiem nieźle. A teraz, czy mogliśmy to oszacować zawczasu na wyczucie – przez co rozumiem bez liczenia?

Staneliśmy twarzą w twarz z takim wyborem: która z następujących dwunastu możliwości najlepiej pasuje?

(a) 10;
(b) 100;
(c) 1 000;
(d) 10 000;
(e) 100 000;
(f) 1 000 000;
(g) 10 000 000;
(h) 100 000 000;
(i) 1 000 000 000;
(j) 10 000 000 000;
(k) 100 000 000 000;
(l) 1 000 000 000 000?

To, czego większość ludzi najpewniej nie uznaje, to fakt, że odgadnięcie takiej zagadki jest w dużym stopniu tym samym, co spojrzenie na krzesła w pokoju i szybka ocena, czy jest ich tam trzy, siedem, czy piętnaście. A tym co my tu właśnie zgadujemy jest ilość zer w tej liczbie, to znaczy jej logarytm (dziesiętny). Jeśli potrafiliśmy rozwinąć w sobie wyczucie ilości krzeseł w pokoju, dlaczego nie udaje się to z ilością zer w jakiejś liczbie? To podstawowe przesłanie tego eseju.

Oczywiście jest różnica między zdroworozsądkowym uchwyceniem tych dwóch rodzajów liczb. Jedna rzecz to spojrzeć na liczbę taką jak „10000000000000” i mieć intuicyjne wyczucie, bez liczenia, że jest tam gdzieś około dwunastu zer – na pewno wiecej niż dziesięć, a mniej niż piętnaście. Trochę inną zaś rzeczą jest spojrzeć na lotniczą fotografię składowiska pni (patrz zdjęcie) i zdołać ocenić (wizualnie, intuicyjne, czy jakoś pośrednio) że tam musi być między trzema a pięcioma zerami w dziesiętnym zapisie liczby pni na tym składowisku – innymi słowy, że 10 000 jest najbliższą prawdy potęgą 10, że 1 000 byłoby zdecydowanie za mało, a 100 000 za dużo. Taka umiejętność jest po prostu formą percepcji liczb o jeden poziom abstrakcji wyższą niż typowe ich postrzeganie. Zaś jeden poziom abstrakcji nie powinien być zbyt trudnu do opanowania.

Cały trick to, oczywiście, praktyka. Musicie zrobić użytek z wiedzy, że dziesięć to bardzo duża ilość zer, jaką może mieć liczba, że pięć to jeszcze niemało, zaś trzy już całkiem do uchwycenia. Prawdopodobnie najważniejsze jest to, abyście mieli jakiś prototypowy przykład dla każdej liczby zer. A zatem: Trzy zera określałyby liczbę studentów waszej uczelni, czyli 1000, ewentualnie trzy razy więcej lub mniej dla kompromisu. (Dopokąd nie idzie nam o dokładność, możemy sobie zawsze darować współczynnik trzy, czy coś około tego, w tę czy w tamtą stronę). Cztery zera to liczba książek w jakiejś niezbyt wielkiej księgarni. Pięć zer to miara dla typowego niewielkiego miasta: 100 000 mieszkańców, czy coś około tego. Sześć zer – to jest milion – daje już duże miasta: Minneapolis, Brasilia, Marsylia, Dar es Salam. Siedem zer to już olbrzymy: Szanghaj, Mexico City, Seoul, Paryż, Nowy Jork. A jak myślicie – ile jest na świecie miast liczących milion lub wiecej mieszkańców? A o ilu z nich nigdy nie słyszeliście? A jeśli obniżyć ten próg do 100 000? A ile jest w Stanach Zjednoczonych miejscowości liczących 1 000 lub mniej mieszkańców. I tu właśnie pomaga praktyka.

Powiedziałem, że powinniście mieć jeden prototypowy przykład dla każdej ilości cyfr. Ale teraz widzę, że to było głupie. Powinniście ich mieć kilka. Aby mieć konkretne wyczucie „dziewięciozerowości” powinniście mieć je osadzone w kilku różnorakich mediach, najlepiej tak różnych jak zaludnienie, budżet państwowy, małe obiekty (mrówki, monety, litery etc.) i możliwie w kilku różnych miejscach takich jakodległości astronomiczne lub statystyki komputerowe.

Rozpatrzmy znane stwierdzenie sieci sprzedaży hamburgerów McDonald’s: „Ponad 25 miliardów sprzedanych” (czy ile tam oni obecnie podają). Czy liczba ta jest wiarygodna? Hm, gdyby było dziesięć razy więcej – to jest 250 miliardów – moglibyśmy to łatwo podzielić przez ilość ludności w USA. (Jeśli zdarzyło się, że wiecie iż ludność USA liczy sobie 230 milionów – zauważycie błąd. Dla potrzeb tej dyskusji przyjmijmy jednak 250 milionów, czyli 2.5×108 – liczba, którą każdy [Amerykanin – M.C.] powinien znać). Wyobraźmy sobie, że stwierdzono „Ponad 250 miliardów sprzedanych”. Wtedy możemy policzyć, że usmażono tysiąc hamburgerów dla każdej osoby w Stanach Zjednoczonych. Ale ponieważ rozmyślnie zwiększyliśmy tę liczbę dziesięciokrotnie, odwróćmy to teraz i zmniejszmy naszą odpowiedź dziesięciokrotnie otrzymując 100. Czy jest wiarygodne, że McDonald przygotował 100 hamburgerów dla każdego Amerykanina. Dla mnie brzmi to dość rozsądnie, sieć istnieje wszędzie dookoła przez wiele lat, i wiele rodzin odwiedza ją wielokrotnie w ciągu roku. Dlatego też to stwierdzenie jest wiarygodne, a fakt, że jest wiarygodne czyni prawdopodobnym, że jest dość dokładne. Przypuszczalnie MacDonald’s nie zadawałby sobie trudu aktualizowania tak często tych danych, jeśli nie chciałby być dokładny. Muszę powiedzieć, że jeśli ich gorliwe starania przyczyniają się do zredukowania nieudolności liczbowej, popieram je jak najgoręcej.

A skąd się biorą te hamburgery? Liczba sztuk bydła szlachtowanego codziennie w USA jest oszałamiająca. Sięga ona mniej więcej 90 000. Kiedy pierwszy raz o tym usłyszałem, wydało mi się, że to zdumiewająco dużo – ale pomyślmy. Załóżmy pół funta [0,227..kg] mięsa na osobę i na dzień. I znów przyjmijmy poręcznie, że ludność USA to 250 milionów. Dla tej połowy funta na osobę i na dzień daje to 100 milionów funtów mięsa dziennie – lub coś koło tego w każdym razie. Naprawdę nie powinniśmy się martwić o współczynnik rzędu dwu. Ile to jest ton? Podzielmy przez 2 000 [2 000 funtów, to ok. 1 000 kg M.C.], a otrzymamy 50 000 ton. Ale z jednej sztuki bydła nie dostaniemy tony mięsa. Może 1 000 funtów [ca. 453 kg – M.C.] lub coś koło tego – czyli pół tony. Oznacza to, że dla kadej tony mięsa zabito dwie sztuki bydła. Tak więc otrzymujemy 100 000 sztuk bydła oddających dziennie ducha dla zaspokojenia naszego kolektywnego apetytu. Oczywiście nie jemy tylko wołowiny, więc rzeczywista liczba powinna być nieco mniejsza. I tak wracamy znowu do wcześniejszego wyniku. Co prowadzi nas z powrotem do mniej więcej dokładnej liczby.

(cdn.)

Z tłumaczeniem pomagali mi, jak zwykle, walczyć: Michał Wronko i Anthony Bramley. Dzięki.