Zasady racjonalnego myślenia a matematyzowalność świata.

Wprowadzenie.

Zagadnienia i problemy, z którymi przychodzi nam stykać się w życiu można z grubsza podzielić na dwie klasy: subiektywne i obiektywne. Do subiektywnych zaliczyłbym na przykład wybór sposobu układania sobie życia, określanie celów, norm moralnych, rozważania nad sensem dowolnych przedsięwzięć, a także kwestie estetyczne dotyczące szeroko pojmowanego świata kultury i sztuki. Z problemami typu obiektywnego mierzymy się natomiast za każdym razem, gdy próbujemy rozstrzygać o prawdziwości lub fałszu precyzyjnie sformułowanych stwierdzeń. Mamy z nimi do czynienia także wtedy, gdy zastanawiamy się nad sposobem funkcjonowania otaczającego nas świata. Zakładam tutaj istnienie zewnętrznego świata poza naszą świadomością. Oczywiście w tekście poczyniłem też niejawnie wiele innych rozsądnych założeń, które mogłyby być kwestionowane przez filozofów.

Szczególną efektywnością w rozwiązywaniu szerokiej klasy problemów natury obiektywnej poszczycić się mogą nauki przyrodnicze, takie jak biologia, chemia, fizyka, a także matematyka i logika (dwie ostatnie nie zawsze zaliczane są do nauk przyrodniczych, ze względu na odmienną naturę). Podstawowe założenia metodologii nauki przedstawione zostały w wykładzie „Zasady racjonalnego myślenia”, do którego się odnoszę. Rozróżnienie między fizyką, chemią i biologią jest w dużym stopniu umowne i dość płynne. Obszar fizyki związany z własnościami elektronów walencyjnych oraz wynikającymi z nich prawami rządzącymi łączeniem się atomów w złożone molekuły jest już właściwie chemią, natomiast zaawansowane zagadnienia chemii organicznej przechodzą w biologię. Spośród tych trzech dziedzin wiedzy fizyka niewątpliwie usiłuje opisać świat na najbardziej podstawowym poziomie. Sama opiera się natomiast na matematyce i metodach eksperymentalnych.

Problem matematyzowalności.

Skoro fizyka jest tak fundamentalną dziedziną nauki, nie powinien dziwić fakt, że w listopadowym wykładzie poświęconym racjonalnemu myśleniu znalazło się miejsce dla praw fizyki takich jak zasada zachowania energii, zasada wzrostu entropii, zasada ekstremów, czy też zasada przyczynowości. Czy jednak istotnie prawa te są w fizyce najbardziej podstawowe?

Sądzę, że znacznie bardziej pierwotnym założeniem czynionym przez fizyków teoretycznych (tych, którzy zajmują się tworzeniem teorii) jest wiara w matematyzowalność świata. Założenie to jest punktem wyjścia przy konstrukcji dowolnej teorii fizycznej. Z pojęciami odnoszącymi się do realnie istniejącego świata, lub skromniej, związanymi w jasny sposób z techniką eksperymentalną, wiązane są pewne obiekty matematyczne. Następnie postulowane są relacje między tymi obiektami i ostatecznie powstaje spójny matematyczny model rzeczywistości. Na gruncie takiego modelu możemy wykorzystywać potęgę matematyki do prognozowania wyników eksperymentów, a następnie weryfikować przewidywania w praktyce. Dopóki rezultaty są zgodne z przewidywaniami, możemy uważać model za dobry. Brak takiej zgodności oznaczać może ograniczony zakres stosowalności modelu, lub zasadniczą konieczność modyfikacji. Próbujemy go wówczas poprawić, zastąpić lepszym, bardziej ogólnym, ale również opartym na matematyce. Taki program postępowania, naszkicowany oczywiście w ogromnym skrócie, wyśmienicie sprawdza się w fizyce.

Matematyka jest niezwykle potężnym i chyba najbardziej obiektywnym i niezawodnym narzędziem rozumowania, którym ludzkość obecnie dysponuje. Zauważmy dla porównania, że naturalne, zdroworozsądkowe rozumowanie oraz intuicja stają się niezwykle zawodne, gdy próbujemy zrozumieć obszary rzeczywistości odległe od tego, z czym mamy do czynienia na co dzień. Dotyczy to na przykład praw rządzących mikroświatem, pewnych efektów związanych z dużymi względnymi prędkościami, silnymi polami grawitacyjnymi. Myślę oczywiście o rozlicznych „paradoksach” mechaniki kwantowej i teorii względności, tak trudnych do przyjęcia dla osób interesujących się tymi teoriami wyłącznie na poziomie popularnonaukowym. Ci, którzy znają ich strukturę matematyczną wiedzą, że teorie są wewnętrznie niesprzeczne i pozwalają na udzielanie jednoznacznych odpowiedzi na precyzyjnie postawione pytania, natomiast paradoksy są pozorne (no... w pewnych przypadkach można się co do tego spierać). Można by więc powiedzieć, że matematyka sprawdza się nawet tam, gdzie zawodzi intuicja. Pozwala nam więc sięgnąć dalej, pełniąc rolę jak gdyby najdłuższej „macki” naszego poznania.

Być może jednak istnieją w przyrodzie zjawiska, których nie da się opisać przy pomocy żadnego modelu matematycznego? Być może na dostatecznie głębokim poziomie świat po prostu zachowuje się w sposób niematematyczny (wypadałoby ustalić, co rozumiemy pod pojęciem matematyki, jednak ze względu na konieczność zachowania zwięzłości pomijam to zagadnienie zakładając milcząco, że Czytelnik mniej więcej wie, czym matematyka jest) ? Nie można takich możliwości wykluczyć. Wówczas przedstawiona przeze mnie metoda badawcza skazana byłaby na porażkę. Dlatego jej stosowanie oparte jest na bynajmniej nieoczywistym założeniu o matematyzowalności świata.

Sukcesy metody zdają się więc podnosić to założenie do rangi najobficiej potwierdzonego eksperymentalnie prawa fizyki (potwierdzane jest ono w każdym eksperymencie dającym wynik zgodny z przewidywaniami dowolnej teorii opartej na matematycznym modelu). Prawo to jest jednocześnie najbardziej fundamentalne. Można sobie wyobrazić teorię fizyczną, w ramach której zasada zachowania energii nie obowiązuje (swoją drogą, jest ona łamana w kwantowej teorii pola w granicach dopuszczonych przez zasadę nieoznaczoności). Trudno natomiast wyobrazić sobie użyteczną teorię naukową, która nie opierałaby się na matematyce.

Marcin Kaźmierczak.

Matematyzowalność? Tak, ale…

Zgadzam się z tezami zawartymi w powyższym artykule, przynajmniej w tym sensie, że nie mógłbym przed nim dopisać; „Nieprawdą jest, że…”. Równocześnie uważam, że brakuje tam pewnych istotnych zastrzeżeń, co może prowadzić do niejasności. A oto one:

1. Terminologia. Słowo "świat" wydaje mi się dość kiepsko określone, dlatego też poniżej będę go używał w znaczeniu „natura”, a więc wszystko, co może być przedmiotem badań nauk przyrodniczych. To tak – dla porządku.

2. Nieweryfikowalność. Stwierdzenie „Świat jest matematyzowalny” może być prawdziwe, lecz nie wyobrażam sobie żadnego sposobu jego ostatecznej weryfikacji; stałoby to zresztą w sprzeczności z zasadą niepewności, od której (jako jednej z najbardziej fundamentalnych) zacząłem moje wyliczenie. Dotychczasowy dorobek nauk przyrodniczych (zwłaszcza fizyki) jest wprawdzie potężnym argumentem na rzecz takiej tezy, nie jest jednak niezbitym dowodem. Możemy więc mówić, że „Świat jest matematyzowalny” pamiętając, że jest to tylko hipoteza, choć rzeczywiście oparta na niezwykle solidnych podstawach i ze względów praktycznych przyjmowana za pewnik. Znamy także pewne wycinki rzeczywistości, które dały się zmatematyzować (jeśli stawiamy rozsądne wymagania i zgadzamy się na uproszczenia). Tytułem pouczającej anegdoty dodać mogę jednak, że istnieje matematyczne twierdzenie, które wydawało się prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych, a jego fałszywość ujawniła się dopiero przy liczbie 906 150 257, a to znikoma doprawdy wielkość w porównaniu z tym, o czym tu mowa.

3. Logizowalność. (Przepraszam, ale na razie nie mam lepszego słowa; za propozycje będę wdzięczny.) Nie tylko zgadzam się z tezą, że „Świat jest matematyzowalny”, ale nawet skłonny byłbym bronić tezy silniejszej – „Świat jest logizowalny”. Twierdzenie to jest znacznie mocniejsze, bo mogłoby pozostać w mocy nawet wówczas, gdyby wymyślono narzędzie sprawniejsze od naszej matematyki (wrócę do tego jeszcze). Nie chodzi mi tu jednak o to, że świat podlega znanej nam logice, ale raczej, że ma jakąś swoją wewnętrzną logikę, którą my staramy się zrozumieć. Ta „wewnętrzna logika” świata nie jest oczywiście żadną „myślą”, a jedynie „własnością”, w takim sensie, w jakim na przykład kule bilardowe zachowują się logicznie. Powiem więcej – taka „wewnętrzna logika” wydaje się być konieczna dla istnienia świata; bez niej nie mógłby on chyba istnieć. Żartobliwie mówiąc: „gdyby natura nie podlegała żadnym rygorom, to by się pewnie rozleciała”. Sądzę, że zasada optymizmu poznawczego bazuje na tej właśnie logicznej spójności świata. Matematyzacja zaś byłaby jedynie konkretnym wcieleniem tej zasady (optymizmu). Nawiasem mówiąc sądzę, że dlatego właśnie nie muszę na razie wnosić do wykładu poprawki. Jeśli mnie ktoś przekona, że jednak powinienem – uczynię to.

4. Matematyzowalność elementarna. Uważam, że matematyzowalność świata (lub jej brak) objawia się nam na każdym poziomie matematyki, od liczenia począwszy. Możemy, oczywiście uważać, że bardziej wyrafinowane narzędzia dają nam jakiś lepszy obraz świata. Jednakże fakt obliczania powierzchni stołu (na przykład) jest równie zagadkowy, kiedy mnożymy jego zmierzoną calówką długość przez szerokość, jak i przy zastosowaniu rachunku całkowego do obliczenia tegoż pola obserwowanego przez jakiś nadzwyczaj dokładny przyrząd optyczny. Więcej nawet – jeśli powiemy, że „im lepsze są nasze narzędzia matematyczne tym lepiej pasują one to rzeczywistości”, to sugerowałoby, że matematyka mogłaby dążyć do jakiejś postaci, w której opisywałaby rzeczywistość doskonale. Wydaje mi się to mocno wątpliwe.

5. Konsekwencje matematyzowalności. Teza, że świat jest matematyzowalny, w połączeniu z dokonaniami nauk przyrodniczych, zdaje się sugerować, że matematyzowalne jest wszystko i zawsze. Innymi słowy, że matematyką możemy, w zasadzie przynajmniej, opisać wszystko, co chcemy. I właśnie to „w zasadzie przynajmniej” jest źródłem moich wątpliwości. A oto one:

A. Przekonanie o matematyzowalności świata może nam wprawdzie poprawiać samopoczucie, jednakże jego rzeczywiste konsekwencje nie są aż tak mocne, jak można by przypuszczać. Są niemałe – to prawda i praktycznie bardzo przydatne; potwierdzeniem – choćby komputer, na którym to piszę. Kiedy jednak chcemy coś opisać matematycznie, musimy stworzyć model. Jeśli chcemy dokładniejszych modeli zjawisk bardziej złożonych, szybko okazuje się, że koszty obliczeniowe rosną gwałtownie i zadanie staje się praktycznie niewykonalne. Przykład: jeżeli rzucimy kamień, to możemy dość dokładnie obliczyć jego tor, traktując go jako tak zwany punkt materialny umieszczony w jego w środku ciężkości. Gdybyśmy zaś chcieli dowiedzieć się z dokładnością do tysięcznej milimetra, gdzie upadnie ten kamień jeśli wyrzucimy go z worka wraz tysiącem innych, to problem taki jest już chyba poza zasięgiem naszych rzeczywistych możliwości – choć jest deterministyczny, klasyczny, mierzalny i matematyzowalny! W tym więc wypadku matematyzacja daje nam najwyżej jakąś gorzką satysfakcję, że „w zasadzie, to by się dało”.

B. Rzeczywistość poddaje się matematyzowalności, rzekłbym – „nierówno”. Pewne rzeczy łatwiej – inne trudniej. Mało tego – nigdy nie wiemy z góry czy zagadnienie okaże się trudne, czy łatwe. Więcej nawet – łatwość matematyzacji problemu nie stoi w żadnym (widocznym dla mnie) związku z wagą, jaką zagadnienie ma dla nas. Sam próbowałem się zabierać metodami matematycznymi do kompozycji muzyki i skończyło się to klęską (nie tylko ja zresztą ją poniosłem, ale jak dotąd wszyscy, którzy się tego imali). Zjawisko wydaję się jakby podatne na ujęcie matematyczne (przecież to nic innego jak manipulacja dźwiękami), a jednak nie udało się. Klęska była pouczająca, przez pokazanie, że to, co chcemy zmatematyzować, to nie tylko układ dźwięków, lecz przede wszystkim słuchacz z jego wykształceniem i znajomością wielowiekowej historii muzyki. A to się naprawdę nie dało wymodelować (choć może i jest matematyzowalne!). Ciągle jednak pojawiają się jakieś nowe próby zastosowania metod matematycznych w kompozycji.

C. Użycie maszyn liczących poprawia nieco sytuację, ale ich znane ograniczenia powodują, że w zasadzie osiągamy jedynie powiększenie ilości zagadnień, które możemy matematycznie opanować. Może to oczywiście mieć ogromne znaczenie praktyczne, ale główny kłopot pozostaje bez zmian.

D. Wydaje mi się, że istotą rzeczy jest po prostu zbyt duża złożoność świata. I to nawet niekoniecznie idzie tu o stopień komplikacji, ile po prostu o ilość elementów. Sytuacja jest taka: każde praktycznie interesujące nas zjawisko to współdziałanie gigantycznej liczby cząstek (atomów). Jeśli więc chcemy ująć to matematycznie mamy do wyboru, albo szukać jakichś wielkości syntetycznych, albo godzić się na dużą liczbę parametrów. Przeważnie wybieramy pierwsze. Możemy na przykład podać średnią temperaturę filiżanki herbaty, ale dokładny opis (na poziomie cząsteczkowym na przykład) zamieszania herbaty łyżeczką, jest praktycznie niewykonalny (choć znowu pewnie matematyzowalny!). Obawiam się więc, że ludzie wybierają do matematyzacji to, co potrafią zmatematyzować, a resztę ujmują innymi metodami, lub po prostu rezygnują. Widać to także bardzo jaskrawo na próbach zastosowania matematyki w sztuce, psychologii etc.

6. Mój prywatny pogląd. Tego punktu proszę nie traktować zbyt poważnie; wypowiadam tu własne zdanie oparte bardziej na intuicji niż na solidnych przesłankach. Otóż wydaje mi się po prostu, że mając takie wyposażenie od natury, jakie mamy – nie możemy ująć złożoności świata bez strat – jesteśmy umysłowo za słabi. Sądzę, że tej bariery nie da się przeskoczyć, dopóki nie zrobi się jednej z dwóch rzeczy. Albo będzie to jakieś narzędzie jeszcze silniejsze niż matematyka (może jakieś sztucznie budowane układy modelujące rzeczywistość – coś takiego jak postulował Lem w swojej książce „Summa technologiae” (rozdział: Hodowla informacji), albo czeka nas jakaś „autoewolucja” (nieprędko może, ale się na to zanosi) – a wtedy – nasi potomkowie zobaczą, co będzie. Może być zresztą tak, że będziemy korzystać z efektów, nie rozumiejąc „jak to działa”. Trochę tak właściwie już jest z komputerami. Wydaje mi się więc, że istnieje coraz silniejsza potrzeba porzucenia schematu: model matematyczny – eksperyment. Ale powtarzam – mocno tego uargumentować, a tym bardziej dowieść – nie potrafię.

Reasumując:

1. Teza o matematyzowalności świata wydaje mi się zasadniczo prawdziwa.
2. Postawiłbym nawet mocniejszą – że świat podlega logice, której matematyzowalność jest częścią.
3. Konsekwencje tej matematyzowalności są jednak mocno ograniczone i warto te ograniczenia znać.

[mc]